Álgebra linear Exemplos

$x - y + 2 z = 2$ $2 y - 4 z = 8$ $- x + 4 z = - 10$

Etapa 1

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & - 4 & 8 \\ - 1 & 0 & 4 & - 10 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.1.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & - 4 & 8 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 4 + 1 \cdot 2 & - 10 + 1 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & - 4 & 8 \\ 0 & - 1 & 6 & - 8 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 4}{2} & \frac{8}{2} \\ 0 & - 1 & 6 & - 8 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 4 \\ 0 & - 1 & 6 & - 8 \end{array}]$

Etapa 2.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 4 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 6 - 2 & - 8 + 1 \cdot 4 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.4

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 4 \\ \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{- 4}{4} \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.5

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.5.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 4 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = 6$

$y = 2$

$z = - 1$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(6, 2, - 1)$